Fibonacci-Folgenformel: So finden Sie Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Folge ist ein Zahlenmuster, das in der Natur immer wieder vorkommt.

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• Was ist die Fibonacci-Folge?
• Der Ursprung der Fibonacci-Folge
• Fibonacci-Zahlenformel
• Fibonacci-Folge und der Goldene Schnitt
• Fibonacci-Folge in der Natur
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Was ist die Fibonacci-Folge?

Die Fibonacci-Folge ist eine der bekanntesten Formeln der Zahlentheorie und eine der einfachsten ganzzahligen Folgen, die durch eine lineare Rekursion definiert wird. In der Fibonacci-Zahlenfolge ist jede Zahl in der Folge die Summe der beiden Zahlen davor, wobei 0 und 1 die ersten beiden Zahlen sind. Die Fibonacci-Zahlenreihe beginnt wie folgt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 usw. Die Fibonacci-Folge ist nützlich für ihre Anwendungen in fortgeschrittener Mathematik und Statistik, Informatik, Wirtschaft und Natur.

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Der Ursprung der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge taucht erstmals 200 v. Chr. in alten Sanskrit-Texten auf, aber die Folge war der westlichen Welt erst 1202 bekannt, als der italienische Mathematiker Leonardo Pisano Bogollo sie in seinem Rechenbuch mit dem Titel . veröffentlichte Liber Abaci . Leonardo trug auch den Spitznamen Leonardo von Pisa, aber erst 1838 gaben ihm Historiker den Spitznamen Fibonacci (grob übersetzt 'Sohn von Bonacci'). Neben der Popularisierung der Fibonacci-Folge hat Fibonaccis Buch Liber Abaci befürwortete die Verwendung von hindu-arabischen Ziffern (1, 2, 3, 4 usw.) und trug dazu bei, das römische Zahlensystem (I, II, III, IV usw.) in ganz Europa zu ersetzen.

Im Liber Abaci , wurde die Fibonacci-Folge tatsächlich verwendet, um ein hypothetisches mathematisches Problem zu lösen, das das Wachstum der Kaninchenpopulation betrifft: Wenn sich ein einzelnes Kaninchenpaar am Ende jedes Monats paart, dann gebiert einen Monat nach der Paarung ein neues Kaninchenpaar und alle neuen Paare Kaninchen folgen dem gleichen Muster, wie viele Paare oder Kaninchen werden in einem Jahr existieren? So beginnen Sie mit der Lösung dieses Problems:

• Anfangen mit 1 paar Kaninchen.
• Am Ende des ersten Monats gibt es noch nur 1 Kaninchen seit der Paarung, aber noch nicht geboren.
• Am Ende des zweiten Monats gibt es zwei Kaninchenpaare seit dem ersten Paar haben nun ein zweites Paar geboren.
• Am Ende des dritten Monats gibt es 3 Kaninchenpaare. Dies liegt daran, dass das erste Paar ein drittes Paar geboren hat, das zweite Paar jedoch nur gepaart wurde.
• Am Ende des vierten Monats gibt es nun 5 Kaninchenpaare. Dies liegt daran, dass das erste Paar ein weiteres Paar geboren hat und das zweite Paar jetzt sein erstes Paar geboren hat.

Wie Sie sehen können, folgt dieses 1, 1, 2, 3, 5-Muster der Fibonacci-Folge. Wenn Sie 12 Monate lang fortfahren, beträgt die Anzahl der Paare 144.

Fibonacci-Zahlenformel

Um jede aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahl in der Fibonacci-Reihe zu berechnen, verwenden Sie die Formel

wobei 𝐹 die 𝑛-te Fibonacci-Zahl in der Folge ist und die ersten beiden Zahlen 𝐹0 und 𝐹1 auf 0 bzw. 1 gesetzt sind.

Das einzige Problem bei dieser Formel besteht darin, dass es sich um eine rekursive Formel handelt, dh sie definiert jede Zahl der Folge mit den vorhergehenden Zahlen. Wenn Sie also die zehnte Zahl in der Fibonacci-Folge berechnen wollten, müssten Sie zuerst die neunte und die achte berechnen, aber um die neunte Zahl zu erhalten, benötigen Sie die achte und siebte und so weiter.

Um eine beliebige Zahl in der Fibonacci-Folge ohne eine der vorhergehenden Zahlen zu finden, können Sie einen geschlossenen Ausdruck namens Binet-Formel verwenden:

In Binets Formel stellt der griechische Buchstabe phi (φ) eine irrationale Zahl dar, die als Goldener Schnitt bezeichnet wird: (1 + √ 5)/2, die auf die nächste Tausendstelstelle gerundet 1,618 entspricht.

Fibonacci-Folge und der Goldene Schnitt

Der Goldene Schnitt (oder Goldener Schnitt) ist eine irrationale Zahl, die sich ergibt, wenn das Verhältnis zweier Zahlen gleich dem Verhältnis ihrer Summe zur größeren der beiden Zahlen ist. Die Fibonacci-Folge ist eng mit dem Goldenen Schnitt verbunden, denn mit steigenden Fibonacci-Zahlen nähert sich das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen immer mehr dem Goldenen Schnitt.

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Es gibt beträchtliche Fehlinformationen darüber, wo Sie die Fibonacci-Folge und den Goldenen Schnitt in der realen Welt finden können; Trotz allem, was Sie vielleicht lesen, wurde der Goldene Schnitt nicht verwendet, um die Pyramiden von Gizeh zu bauen, und die Nautilus-Muschel lässt keine neuen Zellen basierend auf der Fibonacci-Sequenz wachsen.

Aber diese mathematischen Eigenschaften hinter der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt treten in der Natur auf verschiedene Weise auf. Sie finden den Goldenen Schnitt beispielsweise in der spiralförmigen Anordnung der Blätter (Phyllotaxis genannt) bei einigen Pflanzen oder im goldenen Spiralmuster von Tannenzapfen, Blumenkohl, Ananas und der Anordnung der Samen bei Sonnenblumen. Darüber hinaus ist die Anzahl der Blütenblätter einer Blume typischerweise eine Fibonacci-Zahl.

Außerdem folgt der Stammbaum einer Honigbienen-Drohne der Fibonacci-Sequenz. Dies liegt daran, dass eine männliche Drohne aus einem unbefruchteten Ei schlüpft und nur einen Elternteil hat, während weibliche Bienen zwei Elternteile haben. Dies führt zu einem Stammbaum einer Drohne, der aus einem Elternteil, zwei Großeltern, drei Urgroßeltern, fünf Ururgroßeltern usw. in der gesamten Fibonacci-Folge besteht.

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